【一】
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。)
1．给出下列四个命题：①函数f(x)＝3x－6的零点是2；②函数f(x)＝x2＋4x＋4的零点是－2；③函数f(x)＝log3(x－1)的零点是1，④函数f(x)＝2x－1的零点是0，其中正确的个数为()
A．1B．2C．3D．4
[答案]C
[解析]当log3(x－1)＝0时，x－1＝1，∴x＝2，故③错，其余都对．
2．若函数y＝f(x)在区间[0,4]上的图象是连续不断的曲线，且方程f(x)＝0在(0,4)内仅有一个实数根，则f(0)•f(4)的值()
A．大于0B．小于0
C．等于0D．无法判断
[答案]D
[解析]如图(1)和(2)都满足题设条件．
3．函数f(x)＝ax＋b的零点是－1(a≠0)，则函数g(x)＝ax2＋bx的零点是()
A．－1B．0
C．－1和0D．1和0
[答案]C
[解析]由条件知f(－1)＝0，∴b＝a，∴g(x)＝ax2＋bx＝ax(x＋1)的零点为0和－1.
4．方程lgx＋x－2＝0一定有解的区间是()
A．(0,1)B．(1,2)
C．(2,3)D．(3,4)
[答案]B
[解析]∵f(1)＝－1＜0，f(2)＝lg2＞0
∴f(x)在(1,2)内必有零点．
5．某商场对顾客实行购物优惠活动，规定购物付款总额，
①如果不超过200元，则不予优惠．
②如果超过200元，但不超过500元，则按标准价给予9折优惠．
③如果超过500元，则其500元按第②条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．
某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他只去购买上述同样的商品，则应付款是()
A．413.7元B．513.6元
C．546.6元D．548.7元
[答案]C
[解析]两次购物标价款：168＋4230.9＝168＋470＝638(元)，
实际应付款：500×0.9＋138×0.7＝546.6(元)．
7．(08•山东文)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，a≠1)的图象如图所示，则a、b满足的关系是()
A．0 B．0 C．0 D．0 [答案]A [解析]令g(x)＝2x＋b－1，则函数g(x)为增函数，又由图象可知，函数f(x)为增函数， ∴a>1，又当x＝0时，－1 ∴－1 8．一个机器人每一秒钟前进或后退一步，程序设计师让机器人先前进3步再后退2步的规律移动，如果将机器人放在数轴的原点，面向正的方向以一步的距离为一个单位长度．令P(n)表示第n秒时机器人所在位置的坐标，且记P(0)＝0，则下列结论中错误的是() A．P(3)＝3B．P(5)＝1 C．P(2003)>P(2005)D．P(2007)>P(2008) [答案]D [解析]机器人程序为前进3步、后退2步，则P(3)＝3，P(5)＝1均正确，即5步等于前进了一个单位长度， ∴p(2003)＝P(2000)＋P(3)＝403， P(2005)＝P(2000)＋P(5)＝401， ∴P(2003)>P(2005)正确． 又P(2007)＝P(2005)＋P(2)＝403， P(2008)＝P(2005)＋P(3)＝404， ∴P(2007)>P(2008)错误． 9．已知函数f(x)的图象如图，则它的一个可能的解析式为() A．y＝2xB．y＝4－4x＋1 C．y＝log3(x＋1)D．y＝x13(x≥0) [答案]B [解析]由于过(1,2)点，排除C、D；由图象与直线y＝4无限接近，但到达不了，即y＜4知排除A，∴选B. 10．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如表. x－3－2－1012345… y－24－1006860－10－24… 则使ax2＋bx＋c＞0成立的x的取值范围是() A．(－10，－1)∪(1＋∞) B．(－∞，－1)∪(3＋∞) C．(－1,3) D．(0，＋∞) [答案]C [解析]由表可知f(x)的两个零点为－1和3，当－1＜x＜3时f(x)取正值∴使ax2＋bx＋c＞0成立的x的取值范围是(－1,3)． 11．方程4x－3×2x＋2＝0的根的个数是() A．0B．1C．2D．3 [答案]C [解析]由4x－3×2x＋2＝0，得(2x)2－3×2x＋2＝0，解得2x＝2，或2x＝1，∴x＝0，或x＝1. 12．若方程mx－x－m＝0(m＞0，且m≠1)有两个不同实数根，则m的取值范围是() A．m＞1B．0＜m＜1 C．m＞0D．m＞2 [答案]A [解析]方程mx－x－m＝0有两个不同实数根，等价于函数y＝mx与y＝x＋m的图象有两个不同的交点．显然当m＞1时，如图(1)有两个不同交点当O＜m＜1时，如图(2)有且仅有一个交点．故选A. 第Ⅱ卷(非选择题共90分) 二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知y＝x(x－1)(x＋1)的图象如图所示．令f(x)＝x(x－1)(x＋1)＋0.01，则下列关于f(x)＝0的解叙述正确的是________． ①有三个实根； ②x＞1时恰有一实根； ③当0＜x＜1时恰有一实根； ④当－1＜x＜0时恰有一实根； ⑤当x＜－1时恰有一实根(有且仅有一实根)． [答案]①⑤ [解析]f(x)的图象是将函数y＝x(x－1)(x＋1)的图象向上平移0.01个单位得到．故f(x)的图象与x轴有三个交点，它们分别在区间(－∞，－1)，(0，12)和(12，1)内，故只有①⑤正确． 14．某工程由A、B、C、D四道工序完成，完成它们需用的时间依次2、5、x、4天，四道工序的先后顺序及相互关系是：A、B可以同时开工；A完成后，C可以开工；B、C完成后，D可以开工，若完成该工程总时间数为9天，则完成工序C需要的天数x大为________． [答案]3 [解析]如图， 设工程所用总天数为f(x)，则由题意得： 当x≤3时，f(x)＝5＋4＝9， 当x>3时，f(x)＝2＋x＋4＝6＋x， ∴f(x)＝9x≤36＋xx>3， ∵工程所用总天数f(x)＝9， ∴x≤3，∴x大值为3. 15．已知抛物线y＝ax2与直线y＝kx＋1交于两点，其中一点坐标为(1,4)，则另一个点的坐标为______． [答案](－14，14) [解析]由条件知a×12＝4k＋1＝4∴a＝4k＝3 由y＝4x2y＝3x＋1得，y＝－14y＝14或x＝1y＝4. 16．已知函数f(x)＝3x(x≤0)log9x(x＞0)，则方程f(x)＝13的解为________． [答案]－1或39. [解析]由条件知3x＝13x≤0或log9x＝13x＞0 ∴x＝－1或x＝39 三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)方程x2－1x＝0在(－∞，0)内是否存在实数解？并说明理由． [解析]不存在，因为当x＜0时，－1x＞0 ∴x2－1x＞0恒成立，故不存在x∈(－∞，0)，使x2－1x＝0. 18．(本题满分12分)北京市的一家报刊摊点，从报社买进《北京日报》的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社．在一个月(30天计算)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润大？并计算他一个月多可赚得多少元？ [解析]设每天从报社买进x份报纸，每月获得的总利润为y元，则依题意有 y＝0.10(20x＋10×250)－0.15×10(x－250) ＝0.5x＋625，x∈[250,400]． 该函数在[250,400]上单调递增，所以x＝400时，ymax＝825(元)． 答：摊主每天从报社买进400份时，每月所获得的利润大，大利润为825元． 19．(本题满分12分)电信局为了配合客户不同需要，设有A、B两种优惠方案，这两种方案应付电话费(元)与通话时间(分钟)之间的关系，如下图所示(实线部分)．(注：图中MN∥CD.)试问： (1)若通话时间为2小时，按方案A、B各付话费多少元？ (2)方案B从500分钟以后，每分钟收费多少元？ (3)通话时间在什么范围内，方案B才会比方案A优惠． [解析]由图知M(60,98)，N(500,230)，C(500,168)，MN∥CD. 设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为fA(x)、fB(x)，则 fA(x)＝980≤x≤60，310x＋80x>60. fB(x)＝1680≤x≤500，310x＋18x>500. (1)通话2小时两种方案的话费分别为116元、168元． (2)因为fB(n＋1)－fB(n)(n>500)＝310(n＋1)＋18－310n－18＝310＝0.3(元)． ∴方案B从500分钟以后，每分钟收费0.3元． (3)由图知，当0≤x≤60时，fA(x) 当x>500时，fA(x)>fB(x)， ∴当60 即当通话时间在(8803，＋∞)内时，方案B较A优惠． 20．(本题满分12分)若关于x的方程x2－2ax＋2＋a＝0有两个不相等的实根，求分别满足下列条件的a的取值范围． (1)方程两根都大于1； (2)方程一根大于1，另一根小于1. [解析]设f(x)＝x2－2ax＋2＋a (1)∵两根都大于1， ∴Δ＝4a2－4(2＋a)>0a>1f(1)＝3－a>0，解得2 (2)∵方程一根大于1，一根小于1， ∴f(1)<0∴a>3. 21．(本题满分12分)某化工厂生产的一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%.若初时含杂质2%，每过滤可使杂质含量减少13，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(已知：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771) [解析]设过滤n次，则2100•23n≤11000 即23n≤120，∴n≥lg120lg23＝1＋lg2lg3－lg2≈7.4 又∵n∈N， ∴n≥8，即至少要过滤8次才能达到市场要求． 22．(本题满分14分)若二次函数y＝－x2＋mx－1的图象与两端点为A(0,3)、B(3,0)的线段AB有两个不同的交点，求m的取值范围． [分析]先求出线段AB的方程，之后将图象交点问题转化为方程组解的问题，再将方程组解的问题转化为二次函数在区间上有零点的问题，后通过不等式组求得m的取值范围． [解析]线段AB的方程为x＋y＝3， 由题意得方程组x＋y＝3(0≤x≤3)①y＝－x2＋mx－1②在[0,3]上有两组实数解． 将①代入②得x2－(m＋1)x＋4＝0(0≤x≤3)，此方程有两个不同的实数根． 令f(x)＝x2－(m＋1)x＋4.则二次函数f(x)在x∈[0,3]上有两个实根，故有： Δ＝(m＋1)2－16＞0，0＜m＋12＜3，f(0)＝4＞0，f(3)＝9－3(m＋1)＋4≥0，解得3＜m≤103. 故m的取值范围是(3，103]． [点评]本题可能会出现下面的错解，令f(x)＝－x2＋mx－1. ∵f(0)＝－1＜0，f(x)的图象开口向下，线段ABx＋y＝3(0≤x≤3) 如图，要使f(x)的图象与线段AB有两个不同交点应满足． f(3)≤0f(m2)＞3－m20＜m2＜3，∴m≤103m＜－17－1或m＞17－10＜m＜6， ∴无解． 错因是顶点在线段AB的上方与抛物线与线段AB有两个交点不等价． 【二】 一、选择题 1．方程x－1＝lgx必有一个根的区间是() A．(0.1,0.2)B．(0.2,0.3) C．(0.3,0.4)D．(0.4,0.5) [答案]A [解析]设f(x)＝x－1－lgx，f(0.1)＝0.1>0， f(0.2)＝0.2－1－lg0.2＝0.2－lg2<0 ∴f(0.1)f(0.2)<0，故选A. 2．实数a、b、c是图象连续不断的函数y＝f(x)定义域中的三个数，且满足a A．2B．奇数 C．偶数D．至少是2 [答案]D [解析]由f(a)f(b)<0知y＝f(x)在(a，b)上至少有一实根，由f(b)f(c)<0知y＝f(x)在(b，c)上至少有一实根，故y＝f(x)在(a，c)上至少有2实根． 3．已知函数f(x)＝ex－x2＋8x，则在下列区间中f(x)必有零点的是() A．(－2，－1)B．(－1,0) C．(0,1)D．(1,2) [答案]B [解析]f(－1)＝1e－9<0，f(0)＝e0＝1>0，故f(x)在(－1,0)上有一实数解，故选B. 4．某企业2008年12月份的产值是这年1月份产值的p倍，则该企业2008年年度产值的月平均增长率为() A.pp－1B.11p－1 C.11pD.p－111 [答案]B [解析]设1月份产值为a，增长率为x，则 ap＝a(1＋x)11，∴x＝11p－1，故选B. 5．(09•福建文)下列函数中，与函数y＝1x有相同定义域的是() A．f(x)＝lnxB．f(x)＝1x C．f(x)＝|x|D．f(x)＝ex [答案]A [解析]函数y＝1x的定义域为(0，＋∞)，故选A. 6．(09•宁夏海南文)用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的小值 设f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的大值为() A．4B．5C．6D．7 [答案]C [解析]由题意，可画下图：f(x)的大值在A点， 由y＝x＋2y＝10－x，得x＝4y＝6，∴f(x)的大值为6. 7．对任意实数x＞－1，f(x)是2x，log12(x＋1)和1－x中的大者，则f(x)的小值() A．在(0,1)内B．等于1 C．在(1,2)内D．等于2 [答案]B [解析]在同一坐标系中，作出函数y＝2x，y＝log12(x＋1)，y＝1－x的图象，由条件知f(x)的图象是图中实线部分，显见f(x)的小值在y＝2x与y＝1－x交点(0,1)处取得． ∴小值为f(0)＝1. 8．(江门一中2009～2010高一期末)设f(x)＝2x－x－4，x0是函数f(x)的一个正数零点，且x0∈(a，a＋1)，其中a∈N，则a＝() A．1B．2 C．3D．4 [答案]B [解析]由条件知，f(a)＝2a－a－4与f(a＋1)＝2a＋1－a－5异号，取a＝2，有f(2)＝22－2－4<0，f(3)＝23－2－5>0满足，∴a＝2，故选B. 二、填空题 9．下图是某县农村养鸡行业发展规模的统计结果，那么此县养鸡只数多的那年有________万只鸡． [答案]31.2 [解析]2002年，30×1＝30万只， 2003年，26×1.2＝31.2万只， 2004年，22×1.4＝30.8万只， 2005年，18×1.6＝28.8万只， 2006年，14×1.8＝25.2万只， 2007年，10×2＝20万只． 10．函数y＝ax2－ax＋3x＋1的图象与x轴有且只有一个交点，那么a的值的集合为________． [答案]{0,1,9} [解析]当a＝0时，y＝3x＋1的图象与x轴只有一个交点；当a≠0时，由Δ＝(3－a)2－4a＝0得a＝1或9. 三、解答题 11．某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于800元/件．经试销调查，发现销售量y(件)与销售单价x(元/件)，可近似看作函数y＝kx＋b的关系(如图所示)． (1)根据图象，求函数y＝kx＋b的表达式； (2)设公司获得的毛利润(毛利润＝销售总价－成本总价)为S元．①试用销售单价x表示毛利润S；②试问销售单价定为多少时，该公司可获得大毛利润？大毛利润是多少？此时的销售量是多少？ [解析](1)由图象知，当x＝600时，y＝400；当x＝700时，y＝300，代入y＝kx＋b中，得 400＝600k＋b，300＝700k＋b，解得k＝－1，b＝1000. ∴y＝－x＋1000(500≤x≤800)． (2)销售总价＝销售单价×销售量＝xy，成本总价＝成本单价×销售量＝500y， 代入求毛利润的公式，得 s＝xy－500y＝x(－x＋1000)－500(－x＋1000) ＝－x2＋1500x－500000 ＝－(x－750)2＋62500(500≤x≤800)． ∴当销售单价为750元/件时，可获得大毛利润62500元，此时销售量为250件． 12．2005年1月6日，我国的第13亿个小公民在北京诞生，若今后能将人口年平均递增率控制在1%，经过x年后，我国人口数为y(亿)． (1)求y与x的函数关系y＝f(x)； (2)求函数y＝f(x)的定义域； (3)判断函数f(x)是增函数还是减函数？并指出在这里函数增减有什么实际意义． [分析]关键是理解年递增率的意义 2005年人口数为13(亿) 经过1年，2006年人口数为13＋13×1%＝13(1＋1%)(亿) 经过2年，2007年人口数为13(1＋1%)＋13(1＋1%)×1%＝13(1＋1%)(1＋1%)＝13(1＋1%)2(亿)． 经过3年，2008年人口数为13(1＋1%)2＋13(1＋1%)2×1%＝13(1＋1%)3(亿)． [解析](1)由题设条件知，经过x年后我国人口总数为13(1＋1%)x(亿)． ∴y＝f(x)＝13(1＋1%)x. (2)∵此问题以年作为单位时间，∴此函数的定义域是N*. (3)y＝13(1＋1%)x是指数型函数， ∵1＋1%＞1,13＞0，∴y＝13(1＋1%)x是增函数， 即只要递增率为正数时，随着时间的推移，人口的总数总在增长．
