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初中奥数数论容斥原理

时间:2017-06-26 11:24:00   来源:无忧考网     [字体: ]
在一些计数问题中,经常遇到有关集合元素个数的计算。我们用|A|表示有限集合A的元素个数(新教材中用
表示有限集合A的元素个数)。
原理一:给定两个集合A和B,要计算A∪B中元素的个数,可以分成两步进行:
第一步:先求出∣A∣+∣B∣(或者说把A,B的一切元素都“包含”进来,加在一起);
第二步:减去∣A∩B∣(即“排除”加了两次的元素)
总结为公式:|A∪B|=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣。
原理二:给定三个集合A,B,C。要计算A∪B∪C中元素的个数,可以分三步进行:
第一步 求|A|+|B|+|C|;
第二步 减去|A∩B|,|A∩C|,|B∩C|;
第三步 加上|A∩B∩C|。
例1 求不超过20的正整数中是2的倍数或3的倍数的数共有多少个。
例2 某班统计考试成绩,数学得90分上的有25人;语文得90分以上的有21人;两科中至少有一科在90以上的有38人。问两科都在90分以上的有多少人?
例3 某校组织棋类比赛,分成围棋、中国象棋和国际象棋三个组进行。参加围棋比赛的共有42人,参加中国象棋比赛的共有51人,参加国际象棋比赛的共有30人。同时参加了围棋和中国象棋比赛的共有13人,同时参加了围棋和国际象棋比赛的7人,同时参加了中国象棋和国际象棋比赛的11人,其中三种棋赛都参加的3人。问参加棋类比赛的共有多少人?
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